Faktorijel je definisan samo na skupu (skup prirodnih brojeva proširen nulom),
gde je , po definiciji.
Prema tome, gornje pitanje nema mnogo smisla.

Faktorijel se može neprekidno produžiti na skup .
To produženje se zove gama f-ja:
.

Važe relacije:


(na celom domenu)


specijalno:

za svako .

Dakle, mogli bi da prihvatimo da je .

Baš lepo. A kakav je odgovor na pitanje 2?

Da, zaboravio sam na gama funkciju.

Međutim, ona je definisana u opštem slučaju u skupu kompleksnih brojeva, ali da bi odgovarajući integral apsolutno konvergirao, mora realan deo kompleksnog broja biti pozitivan. Ovde je on jednak nuli, pa nisam siguran da li se u ovom slučaju integral može izračunati. U svakom slučaju treba to baciti na papir pa videti.

Dakle, dovoljno je da nađemo .

U knjizi On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications , M. Aslam Chaudhry, Syed M. Zibair postoji sledeći rezultat:

,
pri čemu je

(Euler-Mascheroni-jeva konstanta)
tj. hiperbolički kosekans.

Je l' ima neki dobrovoljac da uvrsti ?

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 14.04.2006. u 22:26 GMT+1]}

Ostaje samo da proverimo da li postoji još neka funkcija f(z) za koju važi da je

f(z+1)=z*f(z)

ili je Gama-funkcija jedina sa ovakvom osobinom?

_{[Ovu poruku je menjao Lobacev dana 17.04.2006. u 10:13 GMT+1]}

U knjizi Functions of One Complex Variable, J. B. Conway, postoji dokaz Bohr-Mollerup-ove teoreme kojom se najčešće i karakteriše gama f-ja :

Neka je f-ja definisana na tako da je za svako .
Ako ima sledeće osobine:

1. je konveksna f-ja
2. za svako
3.

onda je .

Ovo naravno ne daje jasan odgovor na tvoje pitanje (a odgovor na "ili - deo" je u stvari "Ne!" )

Posmatrajmo f-ju ()
Očigledno je da važi:

1.

2.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 18.04.2006. u 03:42 GMT+1]}

Onda smo (više Uranijum nego "smo"), čini mi se, lepo apsolvirali generalisani faktorijal. Pošto je on povezan sa generalisanim izvodom (o kome je bilo već reči u nekoj od prethodnih tema), znači li to da možemo npr. naći i z-ti izvod neke funkcije (npr. sin(x)) gde je z kompleksan broj (npr. z=sqr(2)+i*sqr(2))?

slicno je na temi: Lako pitanje o e-tom izvodu...

Ako je , da li smijemo prosiriti na ili ?

Odosmo u offtopic.

Nekoliko istorijskih činjenica:

• Jacob Bernoulli u jednom od pisama Leibniz-u postavlja pitanje: Kakav bi bio smisao Leibniz-ove teoreme o -tom izvodu proizvoda dve f-je, ako ne bi bilo celo?

• Leibniz u pismima L'Hôpital-u (iz 1695. god.) i Wallis-u (iz 1697. god.) primećuje da je moguće definisati izvod reda .

• Prvi uspeh postiže Euler (1738. god.) zapažanjem da ima smisla i kad nije celo.

• Neke zanimljive predloge dao je i Laplace (1812. god.).

• Lacroix je izveo eksplicitnu formulu za (1820. god.).

• Liouville (1822. god.) iznosi svoj prvi predlog definicije uopštenog izvoda, a u periodu od 1832. do 1837. objavljuje niz radova na tu temu - koji se zasnivaju na osnovnoj ideji: ako f-ju predstavimo u obliku , onda je (uz izvesne pretpostavke o konvergenciji) uopšteni izvod jednak ().

Zaista nemam živaca da pišem ovo dalje - koga ova oblast stvarno zanima (a pri kraju je sa postdipl. iz Analize ) preporučio bih knjigu Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka, S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev.

Da otisli smo OFFTOPIC, izvinjavam se zbog toga, ali mi dopustite samo da zavrsim misao :)

iz uranijumovog posta mozemo zakljuciti

poznato je

Primjenom na

dobijamo



_{[Ovu poruku je menjao emiraga dana 07.05.2006. u 21:10 GMT+1]}

Faktorijel od i je ovoliko 0.498016.... - i 0.15495....
Ne znam kako, ali Wolfram Matematica ga moze izracunati.

Ali znam kako dobiti 1/2 ! = SQRT[Pi]/2

Faktorijel je funkcija definisana na celim nenegativnim brojevima. Produzenje je moguce, ali nije jednistveno i to onda nije faktorijel, nego nesto drugo.

. I pozvacu se na knjigu Specijalne
funkcije; D. Mitronovic,D. Djokovic u kojoj je data relacija
. Sada cu iz ove
relacije izraziti i to
ubaciti u Pa
ako zamenimo dobijamo
. Pa sad kad ti
Mathematica izracuna ti izracunas to
proveris sa rezultatom koji dobije Mathematica za i ako
se ta dva rezultata slazu mozes da izaberes da verujes Mathematici!
:) Nadam se da nisam negde pogresio.Ja dosad u onome sto sam video u
fizici nisam imao potrebu da racunam .Ali cak i da jesam
pp da bih iskoristio Mathematicu, Mathlab ili neki slican program.
Danas nema smisla raditi pesice takve stvari. To je gubljenje
vremena!

Prvo, ovde se mešaju faktorijel i gama funkcija. Da ponovim,

je definisano za cele nenegativne vrednosti .

je definisano za sve kompleksne vrednosti izuzev celih koje nisu prirodne.

Važi za svaki ceo nenegativan broj .

Definiciju funkcije u kompleksnom području možete pronaći na

http://en.wikipedia.org/wiki/G...nction#Alternative_definitions