Prvi način:

Ako niz konvergira, onda konvergira i niz za bilo koje Posmatraj tri vrednosti za , recimo 0,1,-1. Interpolacionom formulom se izražavaju preko . Recimo, , , .

Drugi način:

Vidi teoriju. Svake dve norme na konačnodimenzionom prostoru su ekvivalentne i svaki konačnodimenzioni normirani prostor je Banahov.

Imao sam ideju sa t=-1, t=0 i t=1, ali nije mi palo na pamet ono sa izražavanjem , i preko . Hvala u svakom slučaju. Znam za tu teoremu, ali tek stavka pod f) pokazuje da je V konačno dimenzioni prostor, tako da je pod c) ne mogu koristiti.

Kao što se vidi ovo mi je dalo samo konvergenciju , ali za ostale nije uspelo ni u kojoj kombinaciji.

a+b+c=f(1)
a-b+c=f(-1)
c=f(0)

Dakle, sistem linearnih jednačina.

A, nakon 10 minuta sam video da mi ovo , i u stvari daje traženo rešenje.
Gospodine Nedeljko, hvala Vam puno, vrlo ste ljubazni.

Sličnu ideju sam koristio pri dokazu da je norma kod aksiome N1

Kurtališi se te gospode, molim te!

Mogao sam i sa "hvala ti Neđo, brate" ali nekako mi je draže ono što sam prvi put napisao, sem toga već dva puta dobijam ogromnu pomoć od Vas, pa je red da se, ako ništa drugo, bar lepo i kulturno zahvalim.

Ma, jok, to ti nije bilo potrebno. Dovoljno je znati da je , jer nije skup trojki , već skup funkcija!

No, može i tako, ali si onda nepotrebno zakomplikovo rešenje. Tako bi se radilo da ti je na taj način zadata norma u skupu trojki realnih brojeva .

Batali persiranje!

Dobro, ako baš insistiraš

Šalu na stranu, pokušaću da kompletno rešim zadatak jer mislim da će to sada biti izvodljivo, pa ću sutra postovati rešenje.

Dokaz tvrđenja pod e)


,
a kako onda je , pa je prethodni izraz

kako ne zavisi od ,to je prethodni izraz

Na osnovu ovoga zaključujemo da je:
odnosno

Za dokaz drugog dela nejednakosti koristimo se Nedeljkovom opservacijom da je:
; i
Sada imamo da je:




, odnosno

Ovim smo pokazali da je

Molim cenjene posetioce podforuma matematika da pogledaju ovaj pokušaj dokaza, i da ukažu na eventualne greške. Takođe, ako neko ima bolju ocenu za , tj. ako ima dokaz da postoji , neka postuje. Hvala.

Dokaz tvrđenja pod g)

Uočimo skup
Može se relativno lako pokazati da je prebrojiv.
Dokazaćemo da je

Evidentno je da je , a pošto je V zatvoren skup, onda važi .
Ovo je zbog osobine adherencije da je to najmanji zatvoren skup koji sadrži kao podskup.

Uočimo proizvoljnu funkciju iz .
Poznato je da postoje nizovi racionalnih brojeva takvi da je
, i
Pokazano je, takođe da je funkcija granica niza , a to znači da u svakom otvorenom skupu
koji sadrži ima i elemenata iz , što znači:

Pokazali smo da je , tj je prebrojiv gust podskup od .

Primedba: Kako su sve norme na konačno-dimenzionom skupu ekvivalentne, a to tvrđenje se sada može koristiti jer se pod f) ovog zadatka lako dokazuje da je V konačno-dimenzioni prostor dimenzije 3, u drugom delu tvrđenja nije naznačeno o kojoj se normi radi, jer niz konvergira za bilo koju normu.

Ma, u redu je s tim što ne vidim gde je pokazano da niz konvergira ka . Može preko ekvivalentnosti normi, s tim da se onda dokaže konvergencija u bar jednoj.

Može ovako:

.

Naravno, samo sam bio ubeđen da sam konvergenciju dokazao u nekom od prethodnih postova, ali dokaz je bio za konvergenciju Košijevog niza, odnosno kompletnost prostora V

Što se tiče poslednje stavke, prilično jednostavno se dokazuje da je preslikavanje A linearno i neprekidno, ali da mu odredim normu, e tu sam se stvarno zakucao, ili ne vidim drveće od šume.
Jasno se vidi da je

Ako normu linearnog preslikavanja definišemo kao:
, odnosno kao ,
dobijamo da je , s čim ne znam šta da počnem.
Ako, pak, normu linearnog preslikavanja dafinišemo kao:
,
dobijamo da je ,
s čim takođe ne znam šta ću.
I, konačno, ako normu definišemo kao:
, dobijamo da je: ,
što mi opet ništa ne pomaže.

Dakle, ponestalo mi ideja. Pomagajte!

Stoga je . Sa druge strane, za važi

,

pa je .

Mislim da si hteo da kažeš da u se dostiže:
,
ali je to ono što sam tražio, stoga puno hvala, uspeo sam da kompletiram zadatak.

Vidiš, obzirom da je



da bi se dostiglo , mora na svim mestima iznad važiti znak jednakosti. Posebno,

,

odakle se direktno izvodi . Zatim se direktno proveri da u tom slučaju zaista važi i to je to.

Ja sam to razumeo na sledeći način:
Norma preslikavanja A je .
Ti si dokazao da je , a u isto vreme da postoje vrednosti za a, b i c za koje važi jednakost.
Na osnovu toga možemo zaključiti da je .
Jel' to to? Ako jeste, prelazim na novi zadatak.


_{[Ovu poruku je menjao lepi.cane dana 14.10.2009. u 20:48 GMT+1]}

Jeste, samo što sam hteo da ti pokažem kako se dobijaju konstante a,b,c za koje se dostiže jednakost.

Razbra', hvala, idem na drugi zadatak.