Postoji:

a koliki je taj odnos?

Ako pokušavaš da otkriješ dve različite nule to ti neće poći za rukom (ili nogom fudbalski rečeno). Ali ako hoćeš da uporediš dve beskonačno male veličine probaj sa limesima.

Ako dve veličine teže nuli, njihov količnik može po pitanju konvergencije biti svakakav.

Nema potrebe za ovakvim tonom i pretpostavkama. Zbog čega to činiš?

Ne upoređujem beskonačno male veličine - upoređujem vrednosti funkcija y₁ i y₂ kad je argument jednak nuli.
(izuzev ako nule smatraš beskonačno malim veličinama)

Ovo ne razumem. Ne radi se o nekim graničnim vrednostima jer i apscisa i ordinate postižu te vrednosti.
Uzmimo jednostavniji primer - neka je, na primer, y₁ = 2x², a y₂ = x²
odnos ordinata y₁/y₂ = 2 za svaku vrednost argumenta, odnosno, ordinata funkcije y₁ je uvek duplo veća od ordinate funkcije y₂

Ako ih smanjuješ dok ne dodju "do nule" tada ili moraš preći na limese ili deliš 0/0 što je nedefinisano.

Odnos ordinata je funkcija koja nije neprekidna u 0, pa je granični proces neophodan.

Nisam videla holononijev odgovor pre nego što sam poslala svoj komentar.

Bravo.

Da li to znači da je sinx•cosx/sinx nedefinisano za x = 0? Sme li se pisati da je sinx•cosx/sinx = cosx?

Ako je y₁ = x² i y₂ = x³ onda je y₁/y₂ = 1/x što pretstavlja hiperbolu koja nije neprekidna u 0. To je u redu i ide u prilog jednoj drugoj mojoj tvrdnji (uzdržavam se zasad od toga), ali šta da kažemo za drugi primer kada je y₁ = 2x² i y₂ = x² jer je tada odnos y₁/y₂ = 2?

Realni broj 0 ne pripada domenu funkcije . Ali limes postoji i konačan je.

Funkcije su trojke koji se sastoje od izraza, domena i kodomena.

Naravno, neko ko negira rezultate Računa (Analize) ovo ne mora da prihvati. [Pffffff! ]

Pardon, grafika, domena i kodomena.

Tačno, mada ako ćemo striktno formalno, ja ne dadoh moju definiciju „izraza“. :-}

Na primer, ovde je:

Inače, , , pa ne samo da je limes neograničen, već ni ne postoji, jer levi i desni limes nisu jednaki.

Ali, kao što rekoh, onima koji ne žele da raspravljaju u terminima logike ovo ne vredi objašnjavati. Zaista tužno.

Matematička analiza je zasnovana na aksiomama i tu je problem koji stvara zbrku kod onih koji pokušavaju da osnuju sopstveni aksiomatski sistem. Ko zna, možda ćemo jednog dana odbaciti postojeće aksiome i usvojiti nove. A tada je sve moguće.

Funkcije f1(x) = 2x^2 / x^2 i f2(x) = 2, nisu jednake.

Za objasnjenje mozes da pogledas prethodni Cabov post.

Sustina je da ovo nije tacno:

U prethodnom postu Cabo je analizirao f1(x) = x²/x³ i pokazao da ta funkcija nema limes
a nije govorio o funkciji f₂(x) = 1/x, odnosno nije rekao da funkcije f₁(x) = x²/x³ i f₂(x) = 1/x
nisu jednake kao što ti pišeš za funkcije u gornjem citatu.
Ja sam razumeo da funkcija f₁(x) = x²/x³ nema vrednost za x = 0 odnosno da nije neprekinuta,
međutim, ne vidim da to možemo reći i za funkciju koju navodiš "f1(x) = 2x^2 / x^2".
Ispravi me ako grešim.

f₁(x)=2x²/x² nije definisana u nuli (jer 0/0 nije definisano), dok je f₂(x)=2 definisana za svako realno x. Stoga te funkcije nisu jednake, jer nemaju isti domen.

ovde svi nose naočare?

vala nosim, nikad ne zaboravim da ih prebacim iz jedne torbe u drugu

neki nose i sociva

ti sa socivima su sminkeri, pih, ja to ne bi nikad

sve sami zozoni

ja ne idem odavde dok ne saznam šta se dešava sa nulama

ja to zbog strabizma

ti sad hoćeš da ja pitam šta je strabizam pa da ispadnem glupa na zozonskom forumu

najveci umovi koji su mogli da rese problem s nulama, tesla, pupin, njutn, dekart, arhimed, gaus i mileva ajnstajn, odavno vise nisu medju nama, sve mi se cini ostacemo bez odgovora
:smrc:

zaboravila si Bojsija

Pritisni Ctrl+

jes pa da mi eksplodira komp

pritisni ti ctrl C

Neće eksplodirati, samo će poispadati slova iz monitora.

... "Čarobni svet koji me opija
to je moja miopija..."
O.Neš

ne smem, imam mačku, poješće sva slova po podu pre nego što ih skupim

Miša ti je već pojela?

ništa me ne pitaj, svakog dana kupujem novog miša

Da li je u tom slučaju ovaj limes dobro sračunat jer ako ne sme da se krati x² sa x² onda
valjda ne bi smelo ni (1 - cosx) sa (1 - cosx) zar ne?

Pod limesom može.

Pod limesom promenljiva teži navedenoj vrednosti, ali nikada nije jednaka njoj, pa može.

Funkcija f(x) = (2*x^2)/(x^2) ima u tački x=0 "otklonjiv" prekid (nije vertikalna simptota).
Funkcija f(x) = (x^2)/(x^3) ima u tački x=0 prekid druge vrste ili ti vertikalnu asimptotu.

Slično:
Funkcija f(x) = sin(x)/x ima u tački x=0 "otklonjiv" prekid.
Funkcija f(x) = [x] (ceo deo od x) ima u tački x=2 (ujedno i za svako celobrojno x) prekid prve vrste (nije vertikalna asimptota).
Funkcija f(x) = x/(x-2) ima u tački x=2 prekid druge vrste ili ti vertikalnu asimptotu.

Uopšteno:

1. Ako funkcija f(x) je prekidna u tački x=a i oba limesa (levi i desni) kad x teži ka a su konačna i međusobno jednaka, onda
f(x) u tački x=a ima "otklonjiv" prekid. Može se "dodefinisati" i postati neprekidna u x=a.

2. Ako funkcija f(x) je prekidna u tački x=a i oba limesa (levi i desni) kad x teži ka a su konačna i međusobno različita, onda
f(x) u tački x=a ima prekid prve vrste (nije vertikalna asimptota).

3. Ako funkcija f(x) je prekidna u tački x=a i bar jedan od limesa (levi i desni) kad x teži ka a je beskonačan, onda
f(x) u tački x=a ima prekid druge vrste (vertikalna asimptota).


Pre ovoga pročitaj iz neke knjige (preporučujem dr Jovana Kečkića) poglavlja:
1. Realni nizovi, tačke nagomilavanja i tačke konvergencije
2. Osobine konvergentnih nizova
3. Granična vrednost funkcije.
4. Neprekidnost funkcije.
5. Osobine neprekidnih funkcija.
6. Prekidnost funkcije.
7. Pravolinijske asimptote funkcija.

Ovo što sam ti napisao, narodnim jezikom, je suština poglavlja o prekidnosti funkcija.


_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 22.06.2010. u 04:50 GMT+1]}

@Marcipanija
Pa narani macu, budi ljubitelj životinja kao i ja.

Pri računanju limesa uvak može da se skrati f(x)/f(x)=1, čak i ako postoji neko x za koje je f(x)==0. U slučaju f(x)/f(x) se radi o vrednostima identičnog reda veličine. Medjutim, skraćivanje 0/0 nije moguće jer ne znamo koja 0 je "veća" i za koliko pa rezultat može biti -∞, .., 0,1,2,..., +∞. Odgovor na pitanje "koja nula je veća" je u limesima.

_{[Ovu poruku je menjao holononi dana 23.06.2010. u 12:42 GMT+1]}

Bravo - to sam upravo hteo da kažem - ako vrednosti neke funkcije deliš same sa sobom rezultat je uvek 1 - to važi
za sve vrednosti te funkcije pa i za nulu ili definitivno:

                         Ako bilo koji broj podeliš sam sa sobom rezultat je JEDAN.

                                          Nula nije izuzetak

Ovo me oduševljava još više - konačno je neko prihvatio moju ideju - prosto ne mogu da verujem!!!

Govorio sam da se 3 puta 0 ne sme izračunavati jer to nije ista 0

Kakve nule koje su "vece" jedne od druge? :)

Ponekad matematicari slikovito, narodski izrazavaju kako bi opisali konvergenciju... i umesto da kazu da postoje brze i sporije konvergencije ka nuli, pominju se "vece" i "manje" nule. No naravno to je pogresno. Postoji samo jedna nula. Deljenje sa nulom, naravno nije definisana operacija.

"Vece" i "manje" nule slobodno zaboravite.

Ovo je rezultat ozbiljnog i neopterećenog razmišljanja:

Izgleda da je holononi upravo napustio aksiome polja realnih brojeva i pridružio se galetovoj priči o različitim nulama.

Eh, khm..., Nedeljko u čemu je problem?

Ako se u raskrsnici "kresnu" dva automobila nije pitanje ko je odakle došao već ko se gde zatekao u momentu "kresanja". Ali u matematici je obrnuto, odlučujuće je kako se do čega došlo. Zato vrednost izraza "0/0" uvek zavisi od toga kako se došlo do tih "nula".

Na primer 1/n -> 0, n -> ∞, slično 1/n² -> 0, n -> ∞. Medjutim odnos ova dva izraza nije jednak 1 jer se radi o beskonačno malim veličinama različitog reda veličine.

(1/n)/(1/n²) -> ∞, n -> ∞
(1/n²)/(1/n) -> 0, n -> ∞

U ovom slučaju je "0/0" samo ZAMENA za (1/n)/(1/n²) ili (1/n²)/(1/n), dok je sama 0 kao broj u skupu realnih brojeva definisana kao neutralni element za operaciju sabiranja i ništa drugo! Dakle broj 0 je jedinstven. Kako lako može doći do zabune nemojte ni pisati 0/0 već pun izraz.

_{[Ovu poruku je menjao holononi dana 22.06.2010. u 13:50 GMT+1]}

Jok, to je samo izjava koja se naizgled poklapa sa nekim tvojim idejama.

Jok, 1/n nije 0 niti za jednu vrednost n, pa 0 ne može biti zamena za 1/n.

Nula je po definiciji neutralni element za sabiranje, a kao teorema se dokazuje da je takav element jedinstven. Za ma koju operaciju * i elemente a i b na koje se primenjuje je a*b uvek ista vrednost (ako je definisana) kako god da se do tih vrednosti došlo.

Ovo o čemu pišeš jesu galetove ideje, koje nisu utemeljene na aksiomama polja realnih brojeva.

A gde sam napisao da je 1/n 0?
Gde sam napisao da je 0 zamena za 1/n?
Baš naprotiv, tu stoji da teži nuli kad n teži u beskonačnost.

Nedeljko, vreme je da se ispavaš.

Nula se u jednom aksiomu definiše kao neutralni element za sabiranje a u drugom je rezultat sabiranja elementa i inverznog elementa za sabiranje. Zato ne vidim šta tu nije zasnovano na aksiomima.

Napisao si da je 0/0 zamena za... te da je bitno poreklo argumenata itd.



Jok, nula se definiše kao neutralni element za sabiranje, a suprotan element za sabiranje se definiše kao onaj koji u zbiru daje nulu.

Jok, napisao sam "0/0".

Za ovo tvoje "Jok", šta se suštinski razlikuje u tim formulacijama?

Mislim da je holononi mislio na ovo što je vlada_vlada opisao:

Verovatno i galet@world intuitivno to tako zamišlja, samo što izmišlja toplu vodu i ono što već postoji. Sve (uglavnom) što on priča jeste moguće pod limesom, odnosno u okolini nule, ali ne i u nuli.
Da je tako kao što galet@world kaže, onda bi postojalo beskonačno mnogo "različitih" nula sa karakteristikama "očuvanja njihovih" vrednosti (moramo naći način i kako to da obeležimo), pa bi onda postavio problem čemu je jednak proizvod "nule" beskonačno velike vrednosti i "nule" beskonačno male vrednosti, itd, itd. Što bi se narodski reklo, "i nad popom ima pop", tako da galet@world svojom "teorijom" samo "usitnjava" priču i hteo ne hteo dokazuje da je skup realnih brojeva svuda gust.

Aaaa, tako, 0/0 je neki novi simbol...

Prva aksioma ustanovljava pojam nule, a druga pojam suprotnog elementa. O neutralnom elementu se može govoriti i ako nemamo suprotne elemente za tu operaciju. Obrnuto, jok.

0/0 ne može biti zamena za jer je prvi izraz nedefinisan, a drugi je definisan za ma koje .

"0/0" nije izraz već niz simbola.

Tako je i isključivo tako.
Uzmimo sasvim jednostavan primer: y = 2x/x, ako je x = 0 zar je zabranjeno napisati y = 2•0/0 ili ovako: (0 + 0)/0
ili ovako 0/0 + 0/0 = 1 + 1 = 2
ali ako napišemo da je 2•0 = 0 onda crvena nula nije jednaka crnoj nuli jer se u crvenoj nuli nalaze dve crne nule
Upravo zato što ne znamo odakle potiče i kako je nastala crvena nula i koliko sadrži crnih nula sledi zabrana deobe sa nulom
odnosno zaključak da je deljenje nulom nedefinisano.
Jer ako pišemo da su dve nule jednake jednoj ili da je nula na kvadrat jednaka nuli nižeg reda onda kad delimo takve
nule kojima ne znamo ni sadržaj ni poreklo ne možemo znati ni rezultat deobe jer ih jednako pišemo iako nisu jednake
ili bolje rečeno - ne znamo koliko se krije nula pod jednim istim znakom.
Nule bi trebalo pisati kao opšte brojeve isto kao što, na primer, pišemo 5a/a trebalo bi pisati i 5•0/0 jer ako pišemo
da je 5•0 = 0 ne grešimo - to jeste nula ali ona sadrži pet crnih nula, međutim, ako to ne napišemo onda
se to i ne vidi - pa ne znamo s čim računamo i otuda i dolazi do nedefinisanosti deljenja.
Evo šta se ustvari radi sa nulama:

5•0 = 0 analogno bi bilo 5•7 = 7

Nula se jednostavno ne uvažava kao vrednost i nije tačno da je ova jednakost ispravna 5•0 = 0 ako su nule na levoj
i desnoj strani jednakosti, kao što kaže Holononi, identičnog reda veličine.

Pa, šta predstavljaju ponaosob ti simboli u kontekstu tvog primera?

Gale, nisi me dobro razumeo. U ovom primeru nema razlike u nulama, iz aksioma se izvodi da je u skupu realnih brojeva neutralni element za sabiranje jedinstven.

Da li bi mogao da nam napišeš skup rešenja jednačine 5x=x po x u skupu realnih brojeva?

@galet

Koliko je onda 0•0, gde je 0 beskonačno velika nula, a 0 beskonačno mala nula?

Isto ono što i simboli u "dvojka" ponaosob:

dvojka=1+1

Ne vidim da sam napisao nešto suprotno tome i to nisam negirao, ja govorim o međusobnom odnosu
nula koje su kao što si rekao različitog reda veličine i koje se jednako pišu ne vodeći računa o tome.

"Jednačina" nije jednačina, jer ako je podelimo sa x dobijamo 5 = 1

Hoćeš li reći da je skup rešenja jednačine prazan?

Da li je ta jednačina ekvivalentna jednačini 5x-x=0, odnosno 4x=0, odnosno x=0/4? Da li se nula sme deliti sa 4?



E, vidiš, tu je problem, što u tvojoj teoriji različite stvari označavaš istim simbolom i onda dolazi do zabune.

MadZone nije bio dovoljan :))

Vjerujem da nisam jedini medju lurkerima koji duze prate ovaj forum, a time i do odredjenog stupnja "poznaju" osobnosti ucesnika u raspravi, koji bas zbog toga drzi ovu temu urnebesnom :).

Ali ne samo urnebesnom nego i edukativnom.
Naime i na "pogresnim" stavovima se uci, pogotovo ako u raspravi sudjeluju osobe koje ju usmjeravaju i zadrzavaju u okvirima matematike kao znanstvene discipline. Pogresni stavovi (pisani naravno u najboljoj namjeri a ne zbog zafrkancije) su stavise nekad i pozeljni, jer poticu na razmisljanje nas lurkere, a ujedno i provociraju kvalitetne odgovore ucesnika u raspravi, tako da sve skupa cini jedan zgodan proces ucenja.

Bas zbog tog edukativnog dijela koji je nesporno prisutan, uputio bih prijedlog moderatorima da ovakve teme ne brisu posve iz ovog foruma, nego da se mozda napravi neki podforum koji ce biti namijenjen za teme koje "odlutaju".

Time bi bile ubijene bar dvije muhe: ostalim korisnicima (koji ne prate mad forume i pretpostavljaju da se stvari vezane za matematiku nalaze na ovom forumu) se ne bi uskracivala dostupnost rasprave (koja je bez obzira na sve ipak vrijedna citanja), a nivo foruma matematika se ne bi srozavao jer bi se smjestajem u podforum jasno dalo do znanja da u toj raspravi moze svasta ocekivati.

S druge strane, premjestanjem teme u Ultra MadZOne, po mom sudu, cini se nepravda sudionicima u raspravi koji su dali vrlo kvalitetan doprinos koji jeste u okvirima znanosti. S tog stajalista ne izgleda mi prihvatljivim da se ova tema, odnosno njihovi odgovori nalaze u istom rangu sa npr temom "Zatrudnela od 3D pornića" :) koja se nalazi nekoliko redova ispod ove u Ultra MadZone.

Stvarno ne znam o kakvoj ekvivalenciji govoriš. Rekao sam da izraz 5x = x nije jednačina jer joj desna strana nije jednaka levoj
pa joj ta jednačina nije ekvivalentna jer razlika tih strana nije jednaka nuli.

Mislim da je dosadašnja diskusija bila fer, pa je tema valjda iz drugih razloga prebačena u Ultra MadZone,
nadam se da ne preti opet zaključavanje.


0² ako su beskonačnosti identičnog reda veličine.

Pa, jeste joj jedna strana jednaka drugoj (i razlika tih strana jeste jednaka nuli) za x=0. :)

Mislim da Galet tu teoremu i dokaz zna napamet, obzirom da su mu je deklamovali ovde vec 16 puta. Ali ona nekako nema vaznosti za njega.

Nego, Galet samo da rezimiramo. Postavio si pitanje i trazio odgovor. Onda su ti svi rekli da je rezon pogresan i ukazali na gresku. Onda si od 15 medjusobno ekvivalentnih odgovora uspeo jedan da pogresno interpretiras i na osnovu njega da rezonujes dalje o sarenim nulama. Ne mozes zakljucivati iz netacnog. Iz netacnog sledi bilo sta.

Sacekaj da dodjes do necega sto cemo ti potvrditi da si na pravom putu (da je u saglasnosti sa matematikom), pa onda izvodi dalje zakljucke o onom za sta imas osecaj da je tacno.

Ne znam da li me razumes, dao si vrlo interesantne primere, ali nazalost svaki od njih je imao "gresku" (netacnu pretpostavku) koju smo identifikovali i jasno ukazali na nedoslednost u zakljucivanju. Pokusaj da pronadjes neki novi primer - posto ovaj aktuelan nije dobar i iz njega nista ne proistice.

Ako neko hoće da kaže da matematika ima problema sa svojom simbolikom onda je u pravu. Mnoge stvari se rešavaju na osnovu konteksta. Zato se ne može skraćivati 5x=x i dobiti 5=1 jer je rešenje 4x=0 => x=0 pa bi dobio deljenje nulom što u matematici nije dozvoljeno. Ali kad se radi o graničnim vrednostima onda može da se skraćuje i tada je

lim_x->0(5x/x) = lim_x->0(5) = 5

Dakle, primenjuju se pravila koja važe u datom kontekstu. U slučaju limesa može da se vrši skraćivanje jer x nikad ne dostiže tačku 0 iako je u nuli x=0. Medjutim u fiksnoj tačci x=0 ne može se skraćivati x/x, što je slučaj rešavanja jednačine 5x=x.

Ja se sve slazem sa tobom, ali kada pricas Galet-u - moras vrlo koncizno da se izrazavas (sto i nije toliko tesko, jer i sama matematika insistira na odredjenom formalizmu). Ja i ti i neko treci ko zna matematiku razumemo kontekst, pa mozemo da evaluiramo tvrdnje bez problema.. ali Galet, iako ima talenat za matematicko misljenje, odlucio je da ne bude sputan okovama obrazovanja pa sve ove suptilne tacke u matematici prosto ne zna, i spotice se o njih.

Sa druge strane dolazi sa vrlo interesantnim i kreativnim primerima... i verovatno bi bio sjajan matematicar da nije tako odlucno odbacio "body of knowledge" matematike.

A 0² je jednako...? I kakva je ta nula, crvena ili plava? Ili ako je neka tvoja crna nula, kakvog je onda ona reda veličine?

Iskreno, nije mi jasno na koji red veličine misliš, prva nula je beskonačno velika, a druga nula je beskonačno mala, zar nisam bio dovoljno precizan?

Ili, ako ti je tako lakše i ako sledimo tvoj primer sa tetivama, prva nula je dužina tetive nad centralnim uglom koji je jednak 0 kod kruga beskonačno velikog prečnika, a druga nula je dužina tetive nad centralnim uglom koji je jednak 0 kod kruga beskonačno malog prečnika.

Ja mislim da bi se račun značajno pojednostavio ako bismo sve brojeve označili sa 0.

Ma OK je to, nego baš da vidim kako će se ispetljati iz tih "nula" koje u stvari i nisu nule nego su brojevi bliski nuli. To se u literaturi obeležava sa ili .
Upetljaće se u infinitezimalni račun a da toga neće ni biti svesstan.

Ono sto on pokusava da kaze je da od dva covjeka od kojih jedan nema nijednu od dvije jabuke, a ovaj drugi nema nijednu od tri jabuke, ovaj potonji ipak nekako ima vise jabuka od onog prvog.

Sumnjam da ce neko uspjeti da mu objasni da obojica nemaju nista.

Bio onaj crtac, kad Sofronije i onaj macor dijele crva, pa crv zbrise, pa Sofronije objasnjava macoru: "Dvaput nista je nista - cista matematika!?"
Mozda bi ga trebalo uputiti da ga odgleda.

Zavisi od toga koju nulu si povećavao i kako da bude beskonačno velika odnosno beskonačno mala - e ta nula je na kvadrat!
Trebalo bi, stvarno, definisati osnovnu nulu i pomoću nje računati sve računske operacije sa nulama kao sa opštim brojem.
Ta osnovna nula ili da je nazovemo "jedinična" trebalo bi da bude definisana kao beskonačno mala veličina koja postoji i
koja pomnožena bilo s kojom konačnom vrednošću ne daje konačnu vrednost nego opet nulu ali multipliciranu.
(sad sam nadrljao - pretpostavljam reakcije!). Mogao bih to objasniti i podrobnije, ali uopšte mi nije jasno zbog čega se
neki učesnici ovde nerviraju i zbog čega kukaju nad mojim idejama koje, naravno, ne moraju biti ispravne i koje ostavljaju
prostor za dokazivanje suprotnog ako je to moguće - jer ja, koji sam na meti tih diskutanata, uopšte nisam važan - važno
je dokazati da grešim jer se zaista suprotstavljam ustanovljenim principima. Uporan sam, naravno, sve dok ne dobijem
konkretne dokaze protiv. Na primer pitam: ima li i jedan primer koji se suprotstavlja zaključku da je rezultat deobe istovetnih
vrednosti različit od 1?

Ja o matematici razmišljam isključivo intuitivno i nastojim da moja "otkrića" dokažem. U tom pogledu sam vrlo zahvalan jednom učesniku
na ovom forumu - uraniumu - koji mi je sugerisao da nastavim sa mojim idejama iako nisam matematički dovoljno obrazovan jer, kako je
rekao, to obrazovanje može biti i smetnja slobodnom i eventualno ispravnom rezonu.
Moj pristup je, dakle, intuitivan i nadam se logički - stoga tražim potvrdu mojih ideja ili negaciju - što je jednako važno, ali dokumentovano
konkretnim primerima i nedvosmisleno. Ne nameravam da se "obrazujem" i ne prihvatam apriori usvojene stavove - smatram da ima
pogrešnih zaključaka odnosno teorema na koje osim izjava da su tačne ne dobijam konkretne dokaze.
Ako je moje učešće toliko iritantno za nestrpljive matematičare - nema problema - odustaću od učešća na ovom forumu, ali od svojih
ideja neću.

Nisi mi odgovorio na pitanje šta se dobije kada pomnožimo dve nule, gde je jedna nula dužina tetive nad uglom koji je jednak 0 u krugu beskonačno velikog poluprečnika, a druga nula dužina tetive nad uglom koji je jednak 0 u kruu beskonačno malog prečnika.


Šta se desi kada takvu nulu (koja je beskonačno mala veličina koja postoji) podelimo sa 2, recimo?

Gde je centar kruga beskonačno velikog prečnika? S koje je strane? Koliko centara ima taj krug? Da li on pripada skupu krugova?

Onda je odnos nule prema toj polovini jednak 2

Zna Galet jako dobro algebarski dokaz o jedinstvenosti neutrala u odnosu na sabiranje. Mislim da bi mogao da ga napise i unatraske. Stvar je u tome da mu intuicija mu govori da tu ima jos necega, sto je sasvim ok. Problem nastaje kada se predje preko jedne kontradikcije i nastavi da se zakljucuje iz nje (iz netacnog). Po prirodi implikacije iz netacnog sledi bilo sta.

Hocu da kazem da neces nista postici - imamo vec jednu kontradikciju, izvescemo novu "proizvoljnu" koja moze da negira bilo sta, pa i tvoje tvrdnje - i sta onda? Kako ce Galet ili ja ili bilo ko drugi znati koja kontradikcija je "losija" ?

Vec smo presli preko pogresne interpretacije holononijevog komentara o deljenju sa nulom:



U matematici postoji metodologija dokazivanja teorema gde se kao polazna pretpostavka uzima teza suprotna tvrdnji teoreme, nakon cega se dokazuje da je ta pretpostavka kontradiktorna sama sebi. Ovo je sasvim validno, ukoliko se radi o jednoj pogresnoj pretpostavci u inace konzistentnom logickom sistemu.

Nazalost, ako imamo dve ili vise kontradiktornih pretpostavki - ne mozemo nista zakljuciti... tj. moze se zakljuciti bilo sta... potpuno je beskorisno...

Sve dokaze iz kojih sledi netačnost tvojih tvrdjenja možeš čuti ako 10 oktobra odeš na peti sprat matematičkog fakulteta i pažljivo odslušaš kurs analize 1. Kako su predavanja javna neće te izbaciti čak i ako nemaš indeks. Nemoj samo da pričaš za vreme časa.

Ne znam kakve to veze ima, ali neka imaju isti centar i beskonačno veliki i beskonačno mali krug. I neka oba kruga imaju jedan centar, a to je taj isti. I ne, centar ne pripada skupu krugova, šta god to značilo. Dakle?



Dakle, ta nula koju si ti definisao kao

Nije jedinstvena (postoji još jedna nula koja je dva puta manja) a nije ni najmanja. Šta sada?

Uh, mogu to da zamislim profesor nesto prica, kad ustaje gale i kaze pustite vi to profesore nego sta je sa nulama razlicitog reda velicine. :)



Znaci obojica nemaju nista, znaci imaju sve :D.

Što je najcrnje, bilo je takvih likova na prvoj godini. Jedan čak i lepio svoje dokaze po fakuletu.

Ovo sa čime se srećemo nije samo problem učenja već i nastave. Mnoge od knjiga koje se koriste na našim fakultetima su u najmanju ruku nedorasle za postavljene obrazovne ciljeve. U tim knjigama imate dosta kontradiktornih stavova koji studente sigurno zbunjuju i vode pogrešnim zaključcima. Medjutim odgovornost je isključivo na studentu. Profesori fakulteta ne odgovaraju za gluposti koje pišu u svojim knjigama. Ti isti neodgovorni profesori ne propuštaju priliku da "posole pamet" studentima da se sledeći put malo bolje spreme. Zbunjen student pocrveni ko partijska knjižica i pobegne ne shvatajući šta ga je snašlo. E sad, ko ima mamu ili tatu matematičara proći će bolje a ostalima više sreće drugi put.

Evo jednog primera iz knjige "Zbirka zadataka iz analize 1" (Dj. Takači, A. Takači, N. Djapić, I. Štajner-Papuga):

Ako je radijus beskonačan onda je kružnica prava linija jer nema zakrivljenost- odnosno nije kružnica
pa centar takve kružnice nije određen.

Ja nisam definisao jediničnu nulu nego je to bio nekakav orijentacioni predlog - rekao sam da bi
to trebalo učiniti, ali i ako se definiše zašto bi bio problem da postoji deo te nule koji je manji.
Mi imamo, recimo, jedinicu, ali imamo i veličine manje od jedinice. Bilo kako da definišemo osnovnu
nulu - ona nije ni najmanja ni najveća.
Nula koja se jednostavno može definisati je razlika dva jednaka broja, ali ona označava nepostojanje i
nema dimenziju.

Hajde dokaži to. Najozbiljnije te molim.
Znači, povećavamo prečnik kružnice i u jednom trenutku (u beskonačnosti) to više nije kružnica već prava linija? Interesuje me šta se onda dešava u graničnom slučaju, kada to kružnica prelazi u pravu?


Pa rekao si da bismo tu nulu definisali kao "beskonačno malu veličinu koja postoji". Ako bi postojao deo te nule
koji je manji, onda ona ne bi bila "beskonačno mala veličina koja postoji" već bi postojala manja "beskonačno mala veličina"?


Jedinica ima osobinu da je neutral za množenje, veličine manje ili veće od nje nemaju tu osobinu.



Upravo tako. Samo takva nula i postoji, one nule koje ti spominješ nisu ništa drugo nego
mali brojevi bliski nulii, samo što imaš problem da to prihvatiš.
Iskreno, više ne znam ni šta hoćeš da pokažeš, ali kao što je rekao vlada_vlada, ne možeš
da zaključuješ iz netačnog. Iz netačnog može da sledi bilo šta, mogu sada da kažem da
je 1+1=3 za dovoljno velike vrednosti broja 1, to recimo bez problema može da sledi iz
tvojih tvrdnji, a to svakako nije tačno?

Ne shvatam šta je problem sa navedenim citatom, osim što nije naveden do kraja. OK, I1 je jedan od najviše dva moguća intervala, isto važi i za I2, pa šta.

Verovatno misli na formulaciju "dužina intervala", a da pritom nije definisana metrika. Bar ja kada sam učio Analizu 1 nismo uvodili metriku, tek u Analizi 2 smo to radili.
Je l' se posle toga dokazuje da ovako konstruisan niz umetnutih segmenata sadrži podniz koji konvergira? Čini mi se da se na kraju upotrebljavaju dva policajca? :-) Zaboravio sam sve... :-(

Ustvari nikada. Prava je granična vrednost koja ne pripada skupu kružnica.
Imao sam u vidu jednu Nedeljkovu tvrdnju koja glasi ovako 3/∞ = 3 - 3 = 0 odnosno a/∞ = a - a = 0
Ako je, na primer, a neka duž, onda je a/∞ takođe duž, ali a - a nije duž. Ja tvrdim da u principu
ta jednakost nije ispravna jer se te dve nule razlikuju pošto jedna ima dimenziju a druga nema.
Ako na primer kažemo da je 1/∞ = 0 onda je i 2/∞ = 0 ali se te dve nule razlikuju jer je odnos između
druge i prve 2 uz uslov da je u oba slučaja ∞ identičnog reda veličine.
(Beskonačnosti mogu biti različite pa to isto mora da važi i za takve nule)
S ovim se, naravno, slažem - ali šta je ovde netačno?
Rekao sam da je a - a = 0 i da ta nula nema dimenziju odnosno ona označava nepostojanje.
Zato mi je čudna adiciona teorema koja kaže da je, na primer, cos (α - β) = 1 ako je β = α jer u
tom slučaju argument ne postoji i nema dimenziju ugla. Kako onda može postojati vrednost funkcije
ako ne postoji argument?
Zar ne bi bilo besmisleno pitanje: "koliki je kosinus?" a da ne kažemo od čega?

@Nedeljko

Ovo što je primetio mokelet u vezi metrike je potpuno tačno. Takodje se u nastavku rešenja zadatka koristi limes koji isto tako još nije definisan. Ako se nakanim prekucaću i ostatak.

Najviše "žulja" prva rečenica. Kako to da je neki skup istovremeno i beskonačan i ograničen?

Pa dobro beskonacan ili ima beskonacno mnogo elemenata svejedeno, znam da znas al sta je tu sporno interval 0 od 1 ima beskonacno mnogo elemenata a ogranicen je i odozgo i odozdo.Zar se ne uce granicne vrijednosti jos u srednjoj skoli ? A i uredjenje skupova se uci nekad odma na pocetku price o skupovima.

Argument kosinusa je ugao, tako da cos(3-3) nije "kosinus od nicega" nego kosinus razlike dva ista ugla. A razlika dva ista ugla je ugao od 0 stepeni. A ugao od nula stepeni postoji jednako kao i bilo koji drugi, pa prema tome cos(0) nije "kosinus od nicega" nego kosinus ugla od 0 stepeni.

Kako si ti polozio matematiku u osnovnoj skoli (ako jesi)?

Razlika dva jednaka ugla nije jednaka 0 stepeni nego je jednaka nuli i uopšte razlika bilo koje
dve jednake stvari nema dimenziju tih stvari.

Ponovo počinješ sa bezobrazlukom - tema se ne odnosi na mene - ili govori o temi
ili začepi...(da ne kažem šta)
Fer diskutantima dostavljam još jedan prilog:

Moramo razlikovati prazan skup i broj 0. U slučaju razlike dve vrednosti merene veličine opet se dobija rezultat dimenzija merene veličine. Razlika dva broja je opet broj. Nije problem ako neko ko nije matematičar ne uočava tako nešto. Problem je ako ignoriše sva upozorenja.

Pri oduzimanju se ne skraćuju jedinice mere. Jer pogledajmo ovaj slučaj:

dS = S₁ - S₂

Ako je S₂ = 0 (a ne 0 m) tada bi oduzimali x m - 0 odnosno oduzimali bi "babe i žabe". Zato je uvek 0 stepeni <> 0. Samo razlika dva broja može biti jednaka 0 koja je isto tako broj.

3A - 2A = 1A (ampera)
10m - 6m = 4m (metara)
220V + 160V = 380V (volti)
...itd.

Vidis valjda da se brojcane vrednosti oduzimaju i sabiraju, a dimenzije ostaju iste.

Prema tome ako je
3° - 2° = 1°
zasto 3° - 3°, po tebi, nije 0°, nego 0 "nicega"?

I nisam te vredjao. Ja znam da u mojoj osnovnoj skoli nisi mogao imati pozitivnu ocjenu iz matematike ako ne znas sta je ugao, i ako ne znas sta je ugao od 0°, 90°, 180°....
To je samo cinjenica koja me zacudila. A ako tebe to vredje, onda jbga...

@h4su

Problem je što se u rešenju jednom kaže "beskonačan skup" a drugi put kaže "ima beskonačno mnogo elemenata". Iz toga se može zaključiti da su u pitanju različiti pojmovi. To bi moglo da prodje kada bi onaj koji je pisao knjigu imao istu odgovornost kao i student. Ali u praksi nije tako. Taj što je napisao knjigu (računajući i 3-4 "ugledna" recenzenta) nema nikakvu odgovornost za propuste koje je napravio.

Mogao je, jer je osnovna škola obavezna.

Da li možda primećuješ grešku u zakjlučivanju? "Ako je poluprečnik kružnice beskonačan onda centar takve kružnice nije određen".
Ako tebi to ima nekog smisla, onda svaka čast. Ti u stvari tvrdiš da ako neku polupravu produžavamo u beskonačnost sa jedne strane,
onda će se vremenom izgubiti njen početak (drugi kraj), pa to onda više neće biti poluprava već prava?
Mislim, mogu kroz maglu da shvatim o čemu pričaš kada govoriš o beskonačno velikim krugovima, ali to je projektivni prostor i nema veze
sa onim što ti sve vreme pokušavaš da dokažeš, a to činiš u Euklidskom prostoru.


??
Sada si samo demantovao samoga sebe. Eto netačnog koraka u zaključivanju iz koga može sada da sledi bilo šta.
Tako ja sada mogu da kažem: "Nisi u pravu, prava pripada skupu kružnica jer je nastala od kružnice kada smo poluprečnik produžili u
beskonačnost i kada smo u beskonačnosti izgubili zakrivljenost i dobili pravu, ali nema veze, prava je nastala od kružnice, poreklo te
prave vodi od kružnice, kako sada može da ne pripada skupu kružnica a vodi poreklo od njih?"
Ovo što sam napisao jeste glupost, ali sasvim ispravno sledi iz tvojih tvrdnji. A kako su tvrdnje netačne, onda je i zaključak netačan.

U mojoj skoli je bilo obavezno ponavljati razred/razrede dok ne naucis, a nije skola bila obavezna da te propusti po svaku cijenu.
No, vidim ima raznih skola.... :)

Koja dva broja? Ja sam govorio o jednakim brojevima - zanemarimo ostale - to znamo!
Slažem se apsolutno, ali nemoj ovo nikad da negiraš.
(Moj prilog o sinusima nisi komentarisao. Zašto?)

Brojevi su ili odnos veličina ili količina nečega - oni sami za sebe nemaju dimenziju - čak ni smisao.
Ali govorili smo o dimenziji. Da li "dimenziju", možda, ne shvatamo jednako?

Ovo je tačno samo ako se ne oduzimaju jednake veličine. Ako treba - dokazaću - i grafički i verbalno.

Molim te nemoj da se srdiš - ovo su reči jednog matematičara koji takođe ovde učestvuje - eto izvini, ali on je to rekao, a ja se
u ovom slučaju slažem.


Ne sledi - rekao sam da prava ne spada u skup kružnica - a što joj se kružnice približavaju - to ne znači da gube svoj identitet - one
su uvek kružnice jer uvek imaju zakrivljenost i prava ne vuče poreklo od njih, a ni one od nje.

No, otkrili smo jedno novo svojstvo beskonačnosti - beskonačnost ne utiče na svojstva neke pojave odnosno ona ih ne menja. Svojstva
pojave su identična i u konačnom i beskonačnom. To je veza između konačnosti i beskonačnosti.

Treba.

Ne srdim se i verovatno si te reči protumačio pogrešno i onako kako se tebi sviđa, kao što si pre par postova protumačio holononija.
Ti tvrdiš da kružnica beskonačno velikog poluprečnika i nije kružnica već prava, a ja ti kažem da grešiš. Osim ako ne misliš na
projektivnu ravan.


Naravno da ne sledi, ali koristeći tvoju logiku bez problema može da se dokaže da sledi. Na kraju krajeva ti si sam naveo
da kružnica beskonačno velikog poluprečnika postaje prava, onda se negde taj prelaz iz kružnice u pravu mora desiti,
tvoj je problem što si se upetljao u logičkim zaključivanjima i što ti to ne odgovara, bar ne u ovom trenutku, dok ne
izmisliš neku drugu glupost.


Opet demantuješ samog sebe. Rekao si da kružnica beskonačnog poluprečnika i nije više kružnica, znači GUBI SVOJE
SVOJSTVO kružnice JER BESKONAČNOST UTIČE na njena svojstva (zakrivljenost, poluprečnik, centar), a sada kažeš da
beskonačnost ne utiče na svojstva pojave? Pa odluči se već jednom.


Bataljujem ovu diskusiju sa tobom. Video sam sada u pretragama da ove tripove gajiš još od pre
nekoliko godina, pa ako te već drugi ljudi do sada nisu ubedili, verujem da ja tek neću uspeti, osim
što ću izgubiti vreme. Ja sam ti ukazao na greške, ti nisi prihvatio. Da sada gledam u bob kojim
pravcem u kom trenutku će tvoja logika da se razvija, ne pada mi na pamet.
Zato, putuj igumane.

_{[Ovu poruku je menjao mokelet dana 24.06.2010. u 21:02 GMT+1]}

Ako je kruznica beskonacnog poluprecnika prava, sta je sa kruznicom ciji je poluprecnik beskonacno minus jedan? :)

Dobro - svakoj kružnici koja nema beskonačno veliki prečnik možeš odrediti centar - ali gde je centar prave kao kružnice?
Prava nije ni konkavna ni konveksna, a centar bi trebalo da bude na konkavnoj (udubljenoj) strani, a ona takvu stranu
nema pa centar ne može biti nigde ili, ako baš hoćeš, može biti bilo gde u beskonačnosti na bilo kojoj normali na tu pravu
t.j. može ih biti beskonačno mnogo i na sve strane - kako se onda to uklapa u definiciju kružnice?

Pa ne demantujem sebe. Beskonačnost zaista ne utiče na svojstva pojave, ali pojava je nestala.
Ako kvadratu smanjuješ jednu stranicu on je i dalje četverougao sve dok ta stranica ne prestane da
postoji - e onda više četverougao ne postoji i to odjednom prestaje da postoji. Ista stvar je i sa
tetivom kružnice koja prelazi u tangentu, tu ste svi bili saglasni - zar ne?
I to je vrlo interesantna stvar - jedna pojava prelazi u drugu skokovito.

Iskreno mi je žao, ali ja na to, naravno, ne mogu da utičem.

Je li to naređenje? Ja bih još malo ostao ovde bar da pokažem Odinu ono što sam obećao. Sad je već kasno
pa ću to učiniti sutra. (ne "malo sutra" već stvarno).
Na Shadowed-ovo pitanje neću da odgovaram jer mislim da je upućeno tebi.
Živ mi bio "igumane"!

Ipak mislim da je upućeno tebi.
Pozdrav.

Upuceno je galetu ali mi dugo stajala tema otvorena pa su ljudi postovali pre mog odgovora.

http://www.youtube.com/watch?v=Djxnw090EeE

_{[Ovu poruku je menjao mokelet dana 25.06.2010. u 00:16 GMT+1]}

Ako ces mi pokazati ko' sto si i njima pokazao, ne moras uopste da se trudis.

Svima nama je jasno da matematicke postavke cije si validnosti pokusao da osporis zaista ne vaze uz tvoje pretpostavke i pocetne uslove.
Medjutim, niko i ne tvrdi da ta matematika ciju ti validnost osporavas u svom licnom polju znacenja i logicnosti vazi u tom podrucju koje se granici sa zdravim razumom. Mi samo tvrdimo da je sve u skladu u onoj "dimenziji" u kojoj je to i definisano, a ne u tvojoj.

Vrlo je lako uz odredjene pretpostavke osporiti citavu matematiku. Recimo, ako pretpostavis da broj 2 i 3 ustvari ne predstavljaju ono sto inace predstavljaju, nego da broj 2 ustvari znaci "vreca krusaka", a broj 3 "Nalijevo-krug!" onda sva poznata matematika pada u vodu. To je upravo ono sto ti radis sa pojmovima "beskonacno veliko" i "beskonacno malo" - dajes im svoje interpretacije koje nemaju veze sa matematikom.

Ti spekulises sa znacenjima "beskonacno veliko" i "beskonacno malo", ali ono sto pokusavas da osporis uopste nije definisano uz spekulativne verzije tih pojmova. Ti pojmovi su matematicki tacno odredjeni, a tvoje licno shvatanja - ili bolje da kazem dozivljaj tih pojmova - je neinteresantan za matematiku.

Rekao sam da ću pokazati i to činim ovim prilogom.
UPOZORENJE: Tekstualni deo je za slepce, a grafički za one koji nešto vide.

Zar nisi ti taj koji je tvrdio da nule nisu medjusobno iste?

Na crtežima su slikovito opisane jedinice mera za površinu, dužinu i ugao. U tekstu ima nagoveštaja da se izjednačavaju realno i apstraktno što ne može biti.

Taj sam! To i dalje tvrdim. Verovatno nisi obratio dovoljnu pažnju na ono što tvrdim.
Za ovakve nule koje označavaju nepostojanje i koje nemaju dimenziju to nisam tvrdio.

Rezultat oduzimanja jednakih vrednosti je identičan - to je zajedničko za sve vrste dimenzija -
ali to je sve - ostalo nije zajedničko i - slažem se - ne može biti.
Zar, na primer, postojanje nije zajedničko za sve stvari koje egzistiraju ma kakve one bile, ali
one se time, naravno, međusobno ne izjednačavaju.

Deder nacrtajde nam na toj tabli (2m)^(1/3).
Pa kad nam to nacrtas budi ljubazan pa nam objasni kako se ti osjecas kad go izadjes zimi na 0°C. Posto bi u tom slucaju temperatura trebalo da iscezne - ne bi trebalo biti temperature uopste.



U tekstu ima nagovjestaja da autor nema sposobnost apstraktnog razmisljanja.

Već sam napisao da se ne mogu oduzimati "babe i žabe" ali se mogu deliti. Zato se u slučaju oduzimanja ne mogu eleminisati jedinice mere ali se mogu skratiti u slučaju deljenja. Obratiti pažnju "eliminisati" i "skratiti".

Kad se dele "babe i žabe" treba razlikovati apstraktne i realne operacije. Apstraktna operacija je "deljenje" a realna operacija je "dodeljivanje" ili "raspodela". To znači da je moguće 30 žaba podeliti (apstraktna operacija) sa 5 baba jer će tada svaka baba dobiti za ručak po 6 žaba (realna operacija), dakle šest žaba po babi.

Ono na čemu treba insistirati još od osnovne škole je pravilno izražavanje. Tako ćete uvek reći "pet metara u sekundi" iako je matematički tačno "pet metara kroz sekund" ali ovo drugo može dovesti učenika u zabludu. Ono prvo uvek znači da ste prešli pet metara za jedan sekund a ono drugo može da se tumači da je neko bacio poduži lenjir kroz štopericu.

Hvala na namernom izvrtanju stvari i nerazumevanju.

Ne razumijemo kad neces da objasnjavas i na postavljena pitanja da odgovaras.

Sam si u svom prethodnom znamenitom matematickom radu uspostavio kriterijum postojanja dimenzionalnosti time sto si je uslovio predstavljivoscu kredom na skolskoj tabli.

Dakle, predstavi nam kredom na tabli npr. ubrzanje zemljine teze, 9.81 koje ima dimenziju m/s². Ili mozda tvrdis da Zemlja i nema gravitaciju, posto se dimenzija ubrzanja ne moze nacrtati na tabli? (Tj, barem ja mislim da ne moze, mada ne bi me zacudilo da ti mozda imas nekog nacina).

Jedan čovek je na pijaci prodavao lešnike po kilogramu, a drugi je prodavao ukrasne trake
po metru dužnom. Sve su prodali i ispred njih stoje prazne kutije u kojima su držali svoju robu
Možete li ti i Holononi na osnovu praznih kutija da odredite šta je koji od njih prodavao, ili
koji od njih je koristio metar, a koji vagu?

A mozes li ti na osnovu kutija (dok jos nisu prazne) da utvrdis da li ovaj prodaje trake po metru duznom ili po kilogramu i da li ovaj drugi prodaje lesnike po kilogramu ili po metru kubnom (zapremini)?

Posto tvrdis da dimenzija pripada materiji to bi ti onda vrlo lako trebao utvrditi gledanjem u materiju.

Tvoje zakljucivanje je potpuno nakaradno.
Sta ima matematika sa time sta je nekad u proslosti stajalo u kutiji?
Matematika nije vidovnjastvo pa da predvidja sta se nalazilo u proslosti ili sta ce se nalaziti u buducnosti na nekom mjestu koje je sada prazno.
U praznoj kutiji ima 0kg lesnika, ima isto 0kg lubenica ili 0kg slonova. Sta je od toga pogresno i sta ti tu nije jasno?
Jel ti mozda tvrdis da se tvojom "matematikom" moze razlikovati prazna kutija u kojoj su bile trake od prazne kutije u kojoj su bili lesnici?

U cemu je razlika izmedju kutije u kojoj ima 0kg lesnika i kutije u kojoj nema lesnika?




_{[Ovu poruku je menjao Odin D. dana 26.06.2010. u 09:37 GMT+1]}

Ja sam pre postavio pitanje - odgovori iskreno i direktno - pa ću onda ja da odgovorim na tvoja pitanja.

Dovidjenja prijatno.

Ovoj temi nije mesto na UltraMadZone, već tamo odakle je i došla: Matematika.
Iako se neki podsmevaju napisanim postovima, iz cele teme može dosta da se nauči, tako da je tema daleko od beskorisne. Prema tome, bilo bi korisno da vratite temu tamo gde joj je mesto.

Pa znaš kako. Ja cenim kada ljudi pokušavaju da prošire vidike i pri tome dozvoljavam manje formalno izražavanje. Pod uslovom da se sa tim ne preteruje.