Način 2.

Prema razlici kvadrata,

Pošto je za imenilac veći od jedan, onda je ceo izraz manji od jedan.

Način 3.

Posmatrajmo pravougli trougao s katetama i . Tada je po trougaonoj nejednakosti hipotenuza manja od zbira kateta:

Način 4.

Uvedimo smenu . Tada i . Pošto je , imamo

Način 5.

Posmatrajmo vektore i . Pošto je pozitivno, ugao između njih, po apsolutnoj vrednosti, mora biti manji od - ugao između i apscise pripada intervalu , a ugao između i apscise je tačno .

Dakle,

Koji je smisao dokazivanja nečeg krajnje elementarnog na što više načina?

Pošto ti je ovo besmislena tema, prođi je se ti u širokom luku (ne traći svoje dragoceno vreme), nego kao smislen čovek 'vataj lepo u kolo svoje omiljene pretplatnike pa opaljuj novu epizodu višegodišnje perpetualne psihodramske telenovele, a nas besmislene pusti kraju da se sami zabavljamo kako siroti ograničeni umemo.

Način 6.

Neka je . Pošto je , na intervalu imamo da je . Prema tome, funkcija je monotono opadajuća, pa u svakoj tački pomenutog intervala njena vrednost mora biti manja nego u nuli, a .

Način 7.

Uvedimo smenu , gde povlači . Tada

Način 8.

.

I šta sad?

Mislim, možemo komplikovati stvar do mile volje, ali u čemu je poenta?

Način 9.

, gde je .

A jel može da se reši bez svodjenja na kontradikciju, mislim prostim prebacivanjem i kvadriranjem odakle se dobije 1 < 1 + 2ε, što važi jer je ε > 0 po uslovu zadatka ?

pa to je uradjeno u prvom postu, ako ja dobro vidim....

U prvom postu je pretpostavljeno suprotno pa je svedeno na kontradikciju.

No ništa za to. Pretpostavimo da se nismo setili da kvadriramo. Prebaciti ε na drugu stranu, logaritmovati i malo srediti, zatim antilogaritmovati i svedeno je na prethodni slučaj, tj. kvadriranje je postalo očigledno kao posledica primenjenog metoda.

Metod primenjen u prvom postu nije primenljiv na realne stepene, a primena Lagranžove teoreme jeste.

Može i sa ovako kako holononi kaže, a postavljač teme bi mogao da prokomentariše zašto ju je postavio.

Može se uvesti i smena , pa se svodi na .

Mislim da je posle ovolike diskusije jasno zasto? Da se ljudi malo ukljuce. Stvar jeste trivijalna, al trivijalno je katkad zanimljivo. Svaki slozen zadatak se sastoji iz jako mnogo prostih.

U svim ovim odgovorima nema prepucavanja koja izlaze iz domena matematike. Ima zanimljivih postova, a Farenhajt je cak uspeo i da me nasmeje!



Sve u svemu od trivijalnog zadatka ispade lepa i posecena tema!

√(1 + ε²) - ε < √(1 + 2ε + ε²) - ε = √(1 + ε)² - ε = 1 + ε - ε = 1

Nisam bas siguran da je ovo tvoje resenje skroz matematicki korektno. Naime ti si krenuo od



i dobio si da je



Kako ti mislis da si dokazao ovde da tu postoji ekvivalencija izmedju ova dva?

Uzastopni koraci su ekvivalentni.

@petarm

Pošao sam od pretpostavke da je ksi veće od nule. Dobio sam da je 2/ksi veće od nule. Odnosno 2 > 0 što je tačno pa je i polazna nejednakost tačna. Da sam pošao od pretpostavke ksi < 0 dobio bih kontradikcijiu pa za ksi < 0 navedena nejednakost ne važi. Za ksi = 0 ne bih mogao da primenim taj metod jer deljenje nulom nije dozvoljeno.

Evo još jedna varijanta sa hiperboličnim funkcijama. Neka je , tada















što važi za x > 0.

Ako se dva puta primeni identitet tada nije potrebno kvadriranje. Neka je opet , tada











Važi jer za svako x i za i za svako x.

Smenom dobije se











što važi jer