[ Bojan Basic @ 01.03.2005. 00:52 ] @
Pošto je Erdeš-Mordelova nejednakost jedna od najbitnijih nejednakosti u trouglu, evo nešto priče o njoj zajedno sa uopštenjima koja sam uspeo da pronađem.

1) Originalni oblik (1935)

Originalna nejednakost bila je postavljena od strane Erdeša (Paul Erdős, 26.3.1913—20.9.1996) 1935. godine a dokazana je dve godine kasnije i od tada izaziva interesovanje. Formulacija glasi ovako:

Neka je proizvoljna tačka unutar trougla . Obeležimo sa , , i , , rastojanja od tačke do temena , , , odnosno stranica , , , redom. Tada važi sledeća nejednakost:



Jednakost važi ako i samo ako je posmatrani trougao jednakostraničan a njegov centar.

2) A Weighted Erdős-Mordell Inequality (2001)

Šoni Dar (hebr. שוני דר, engl. Seannie Dar) i Ši Giron (hebr. שי גירון, engl. Shay Gueron) 2001. godine su u februarskom broju časopisa American Mathematical Monthly (str. 165-168) prezentovali sledeće uopštenje:

Za proizvoljne pozitivne realne brojeve , , (uz gornje oznake) važi sledeća nejednakost:



Jednakost važi ako i samo ako je (gde su , , stranice trougla) i centar opisane kružnice.

Napomena: Ovaj izraz je prvi put prezentovan još 1989. u knjizi "Recent Advances in Geometric Inequalities" (strana 318, teorema 15) ali bez dokaza i predstavljen je (pogrešno) kao jednakost.

3) A Weighted Erdős-Mordell Inequality - još opštiji oblik (2004)

Valter Janous (Walther Janous) je u e-časopisu Forum Geometricorum (broj 4) dodatno uopštio prethodnu nejednakost. Njegova verzija glasi ovako:

Za ma koji realan broj , , uz do sada korišćene oznake, važi sledeće:

, dok za važi:



Jednakost važi ako i samo ako je (gde su , , stranice trougla) i centar opisane kružnice.

4) A Weighted Erdős-Mordell Inequality for Polygons (2005)

Verovatno najveće uopštenje Erdeš-Mordelove nejednakosti dali su Ši Giron i Iti Šafrir (hebr. איתי שפריר, engl. Itai Shafrir) — zvanična verzija biće objavljena u časopisu American Mathematical Monthly, mart 2005. Oni su dokazali sledeće:

Neka je poligon sa temena, i neka je tačka u njegovoj unutrašnjosti. Neka su , , , i , , , , rastojanja od tačke do temena , , , , odnosno stranica , , , , , redom. Neka su još i , , , pozitivni realni brojevi. Tada je:



Slučaj kada važi jednakost nije jednostavno objasniti, ali ću se truditi da budem što precizniji.

Neka je i neka je . Jednakost važi akko postoji vektor takav da je , , i pri tom je posmatrani poligon tetivan sa temenima , , dok je tačka (tj. centar opisane kružnice tog mnogougla). Naravno, u obzir dolaze i/ili translacija, rotacija i homotetija.

Toliko od mene, ako imate neke dopune, ispravke, komentare, predloge, pitanja i sve ostalo slobodno to napišite u ovoj temi.

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 13.10.2006. u 21:44 GMT+1]